行测数量关系备考，如何使用均值不等式求极值？

行测数量关系备考中，极值问题是高频考点之一，常见于几何、利润、工程等题型，而均值不等式是解决这类问题的有力工具。其实，均值不等式是解决和定积最大或积定和最小类极值问题的高效工具。本文闪能公考来详细介绍如何使用均值不等式求极值。

一、均值不等式的基本概念

均值不等式是数学中的一个重要公式，它揭示了几个非负实数的算术平均数与几何平均数之间的关系。其基本形式为：对于非负实数a和b，有   (a+b)/2≥√ab

当且仅当a=b时，等号成立。

从这个不等式可以推导出两个重要的结论：

1. 和定差小积最大：当两个正实数的和为定值时，它们的乘积在两数相等时取得最大值。

2. 积定差小和最小：当两个正实数的乘积为定值时，它们的和在两数相等时取得最小值。

二、均值不等式的应用环境与解题技巧

1. 应用环境

均值不等式在行测数量关系中的应用主要集中在以下几种场景：

（1）求两数乘积的最大值：当两个数的和为定值时，可以使用均值不等式求解乘积的最大值。

（2）求两数和的最小值：当两个数的乘积为定值时，可以使用均值不等式求解和的最小值。

2. 解题技巧

（1）确保条件满足：使用均值不等式时，必须确保参与运算的数为正数，且满足“和定”或“积定”的条件。

（2）灵活变形：在实际题目中，可能需要对表达式进行变形，使其符合均值不等式的标准形式。

（3）验证等号条件：在求解过程中，需验证等号成立的条件是否满足。如果不满足，结果只能接近但无法达到理论极值。

3. 经典例题解析

例1：利润最大化问题

某商品的进货单价为80元，销售单价为100元，每天可售出120件。已知销售单价每降低1元，每天可多售出20件。若要实现该商品的销售利润最大化，则销售单价应降低的金额是：

A.5元

B.6元

C.7元

D.8元

解析：

设应降低x元，总利润为y元，则降低后的销售单价为100−x元，销量为120+20x件，进货单价为80元。总利润y=(100−x−80)×(120+20x)，化简得y=(20−x)×(120+20x)。根据均值不等式，当20−x=120+20x时，乘积最大，解得x=7。因此，答案为C。

例2：几何问题

老王打算用一段长为36米的篱笆围靠墙围出一个矩形的菜园，问这个矩形的长为多少米时，菜园面积最大？

A.12米

B.14米

C.16米

D.18米

解析：

设矩形的长和宽分别为x米和y米，根据题意，篱笆总长为36米，所以有2x+y=36。矩形的面积为S=x×y。将y表示为y=36−2x，代入面积公式得S=x×(36−2x)=−2x²+36x。根据均值不等式，当x=18−x时，乘积最大，解得x=9。此时，y=36−2×9=18米，面积最大值为9×18=162平方米。答案为D。

均值不等式是行测数量关系备考中的重要工具，尤其在极值问题中应用广泛。考生需要掌握均值不等式的基本概念和应用方法，注意其适用范围和等号成立条件。通过大量练习，考生可以熟练运用均值不等式解决各类极值问题，提升备考效果。