行测数量关系备考，利润问题中的最大值应该如何求解？

行测数量关系，利润问题是一个常见且重要的题型，而求解利润的最大值是其中的一个关键考点。利润问题中的最大值通常涉及到二次函数的极值求解，这在数学中是一个经典的问题。接下来闪能公考将详细介绍如何在利润问题中求解最大值，帮助考生在考试中快速准确地解答这类题目。

一、利润问题中的基本概念

利润问题主要涉及到成本、售价、销售量和利润等概念。其核心公式如下：

利润 = 售价 - 成本

总利润 = 单件利润 × 销售量

在利润问题中，我们常常需要根据给定的成本和售价变化关系，求出最大利润。

二、建立数学模型

1. 设定变量

在利润问题中，通常需要设定一些变量来表示问题中的未知数。常见的变量包括：

（1）x：表示销售量或售价的变化量。

（2）P(x)：表示总利润，是关于x的函数。

2. 建立函数模型

根据题目中的条件，建立总利润与变量之间的函数关系。例如，假设某商品的成本为C，初始售价为P₀，销售量为Q₀。市场调研发现，每降价1元，销售量增加m件。此时，总利润可以表示为：

P(x)=(P₀−x−C)×(Q₀+mx)

其中，x表示降价的金额。

3. 化简函数

将上述函数展开并化简，通常会得到一个二次函数的形式：

P(x)=ax²+bx+c

其中，a、b、c是由题目条件决定的系数。

三、求解最大值

1. 确定函数类型

确认建立的函数是否为二次函数。二次函数的一般形式为P(x)=ax²+bx+c，其中a≠0。如果a<0，函数开口向下，存在最大值。

2. 求顶点

对于二次函数P(x)=ax2+bx+c其顶点处取得最大值。顶点的横坐标为：x=− b/2a

3. 计算最大值

将x代入函数，计算出最大利润：Pmax=P(−b/2a)

四、应用实例

题目：某商品成本为50元/件，初始售价为100元/件，每月可销售100件。市场调研表明，每降价1元，每月销售量增加10件。问：每件商品降价多少元时，每月利润最大？最大利润是多少？

解答：

1. 设定变量：设降价x元。

2. 建立函数模型：总利润P(x)=(100−x−50)×(100+10x)

3. 化简函数：展开并化简得到P(x)=−10x²+400x+5000

4. 确定函数类型：这是一个二次函数，且二次项系数为-10<0，开口向下，存在最大值。

5. 求顶点：横坐标x=−（400/2*（-10）） =20

6. 计算最大值：Pmax=−10×20² +400×20+5000=9000

7. 答案：当每件商品降价20元时，每月利润最大，最大利润为9000元。

五、注意事项

1. 检查函数开口方向

在求解最大值时，必须确保二次函数开口向下（即a<0）。如果开口向上（a>0），则函数没有最大值，只有最小值。

2. 考虑实际意义

求出的x值必须符合实际问题的要求。例如，在上述例子中，x不能超过初始售价，也不能导致销售量为负。

3. 多变量问题

在更复杂的问题中，可能存在多个变量。此时，可能需要使用多元微积分的方法来求解最大值。

利润问题中的最大值求解是行测数量关系中的重要考点，通过建立二次函数模型并求解其顶点，可以快速准确地找到最大利润。在备考过程中，考生需要熟练掌握二次函数的性质和极值求解方法，并通过大量练习来提高解题能力。此外，注意检查函数开口方向和变量的实际意义，避免出现不符合实际的解。